122+332=1233

以前に5882353の謎について書きました。この数は、

588²+2353²=5882353

という性質を持ちながら、

5882353*17=100000001

という性質も持ってるわけです。でも、前者の性質だけの数もあります。

12²+33²=1233

などはその例です。このような数について考えます。

三角形を線対称図形に２分割（４）

結局、三角形を線対称な２つの図形に分割する方法としては以下の３つの系列と、２つの特殊解が分かっています。

三角形を線対称図形に２分割（３）

「３０°ー６０°ー９０°の直角三角形を線対称図形２つに分ける」という前回の話のつづきです。

もともとこの問題は「四面体をいくつかに分割して組み合わせてもとの四面体の鏡像を作る」という話が大学院のゼミで出てきたところから、考えたものでした。
これを平面で考えると、実際、どんな三角形も、３つの二等辺三角形に分割することができますから（外心を使う）、どんな三角形も３分割して組みなおすと、もとの三角形の鏡像にすることができます。では、２分割ならどうだろう？と考えたわけです。いくつか検討して、これはどうも面白い問題だ、と出題しました。

すると、メーリングリストの仲間のかわかみさんから、思いもよらない別解が返ってきたのです。

現在までに５とおりの解が分かっています。３つまで紹介したので、残りの２つを示します。

三角形を線対称図形に２分割（２）

「３０°ー６０°ー９０°の直角三角形を線対称図形２つに分ける」という問題の続きです。

前回例示した

という解以外に、例えば次のような２つの解があります。

三角形を線対称図形に２分割（１）

昔、某MLで話題にして盛り上がった問題なのですが、そのまま放置していたので、自分自身も忘れてしまいそうで、ちょっと整理しておこうと思い、筆をとりました。

ちょっと作題を変えていますが、こんな問題を考えます。

 

問題：内角が３０°、６０°、９０°の直角三角形があります。これを、２つの「線対称な図形」に分割してください。

 

例えば、次のように分割すると、正三角形と二等辺三角形になりますから、２つの線対称な図形に分割したことになります。

他にどんな分割方法があるでしょうか？あなたは、何通り考えつきますか？

5882353の謎

以前(2007年)に5882353の謎について、書きました。
5882353というのは結構有名な不思議な数で、

588²+2353²=5882353

という性質のみならず、

5882353×17=100000001

という特異な性質も持っているわけです。
これは偶然なのか？！

いやこれは偶然ではない、必然だと。
これを一般化してほかの数でも同様の計算ができる、と
どうやら数年前の私が考えついたらしいのですが、
今朝、考えてみても一向に分からない。（笑）

そこで仕方なく、もう一度考えました。かなり時間がかかりましたが、
ようやく再現することができましたので、今度こそ記録を残そうと
思います。

三角定規を滑らせる

大学院のオリエンテーションの時間にみなさんのあいさつを聞きながら、

メモ紙に落書きしていて見つけたこと。教材になるかもしれないなぁ、と。

次の図のように、直角に曲がった壁に合わせて三角定規を置きます。

ここから、青い矢印で示した方向に、三角定規を滑らせるように傾けていきます。

和も積も等しい複数の「自然数の３つ組」

２００５年の日記をみると、次のようなことが書いてあります。

昨日、2/28の日記に書きましたが、和も積も一致する自然数３つの組について

今日も少し考えてみました。たとえば、次の式をご覧あれ。

２＋８＋９＝３＋４＋１２、　　 ２×８×９＝３×４×１２

その後、計算機を用いると、つぎのような数も見つかりました。

24+180+196　=　27+128+245　=　28+120+252　=　32+98+270　=　36+84+280　=　42+70+288

24*180*196　=　27*128*245　=　28*120*252　=　32*98*270　=　36*84*280　=　42*70*288

このような組が見つかってくると、どんなｎに対しても、和、積が一致するようなｎ個の「自然数の３つ組」が存在するのではないか、と予想したくなります。で、解決の手立ても、テキストも目途があったので、この問題、いつか大学院のゼミで扱おう、と思っていました。

で、本日、K君のゼミで解決しました。答えはYesです。つまり、どんなｎに対しても、和、積が一致する「自然数の３つ組」がｎ個以上存在します。

実際、和が１で、積が９１／３６４５となる「正の有理数の３つ組」は無数に存在します。好きなだけ、そのような３つ組を選んでから、全体に分母の最小公倍数をかけてやればいいわけです。

2011の年賀状：解答

２０１１年のパズル家向け年賀状は、こんな問題でした。

さて、このペーパークラフトを裏返したら、どうなっているのか、お見せいたしましょう。

Ex4:その後

Ex4について、いくつかコメントやメールをいただきました。

で、その中にはいくつか驚きの連絡、楽しいアイデアがありました。

• 年末の大みそか、ＭＩＮＥさんから、O>:KH>さんと検討結果を合わせて５解見つけたとの連絡。（年末年始は、帰省中で、メール確認が遅くなりました。）うー、マイリマシタ。やっぱり世の中広いですね。

• ＵＥさんからは、線対称ではなく、点対称で遊んでみたとの報告。ＵＥさんからは点対称問題の解として、５解をいただきました。（すべて裏返し２枚）。その後、独立にＭＩＮＥさんからも点対称解(４解)についての報告。両者の報告を合わせると、点対称問題では、６解になります。（なぜかすべて裏返しが２枚です）

みなさん、遊んでいただいてありがとうございます。