有理数をプロット

先日,通勤途中の車の中でこんなことを考えました.
0から1の範囲の各有理数a/b(分母分子が自然数の既約分数)に対して,座標平面上の点(a/b,1/b)をすべてプロットしたら,どんな画像になるかなぁ,と.
いくつか頭に浮かぶ性質はありましたが,実際のところどんな風になるかはやってみないと,詳細にはわかりませんでした.ということで,やってみることにしました.シンデレラ2のスクリプト機能を使うと,超簡単で,あっというまにプロット完了.どんな風になるか想像つきますか?

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一般黄金分割

昼休みのジョギング中に思いついたアイデア。これ考えながら走ったおかげで、気づいたらゴール近くで楽だった。

さて、黄金長方形の黄金分割というのは、下の左図のように、ある長方形(縦横比が黄金比の長方形)から、正方形(灰色)を取り去ると、残った部分(青い部分)がもとの長方形と相似になるというものですね。

gen_gold_dcp

 
これを一般化してみましょう。ある図形Xから、その一部の図形Aを取り去ると、残った部分が元の図形Xと相似になるとき、この図形の分割を一般黄金分割と呼ぶわけです。

では、右図の台形(正方形と直角二等辺三角形を組み合わせた形)を取り去るような黄金分割を考えてみてください。

つまり、ある図形Xで、そこから右上図の台形を取り去ったとき、残った部分が元の図形Xと相似になる、そんな図形Xはどんな図形?

小町2次方程式

今朝、大学に向かう前、そろそろ出かけないとなぁと思いつつぼんやりしていたとき、なぜかふとこんなアイデアが浮かびました。

「2次方程式の□・x^2-□・x+□□=0の解はx=□±□i」 という文章が正しくなるように、□に1~6の数字を1つずつ入れよ。

上は思いついたアイデアをもとに、その場でペンを走らせて作った問題です。6つの□に1~6が1つずつ入る答えが1通りだけあります。

さて、この問題で□をもう少し増やして9個にして、1から9の数字を1つずつ・・・という風にならないだろうか?

そんなアイデアを、FaceBookに載せたら、今日、その日のうちに滋賀大の篠原 雅史先生が、計算機を走らせてくれました。1から9を1回ずつ「□□・x^2-□□・x+□□□=0の解はx=□±□i」の□に入れる組み合わせが1つ見つかったとのこと。どうも1から9(「=0」を入れると0も)を使う小町2次方程式は1通りしかなさそうです、とのことです。ユニーク解なら、美しいですね。

 

日本数学教育学会の算数問題(6)

昨年の11月に奈良教育大学で行われた日本数学教育学会の会場の壁で見つけた算数の問題について解説記事を書いています。

今回の問題で、会場で見つけた問題はすべてです。が、この問題にはちょっとした発展が。

CA3I0218

さて、問題の解説。問題はぴったり割り切れる数が何個あるかということと同じですから、要するに2012の約数は何個か?という問題なわけです。

2012=2×2×503

で、503は素数なので、2012の約数は、1,2,4、503、2×503、4×503 の 6つ。答えは6個です。

 

さて、この問題を読んだとき、一瞬、自分の頭の中では、次のように読み違えていました

2012/□ という分数の□に、1から2012までの整数をあてはめたとき、その数の整数部分として現れる数は何個ですか?

こうすると、とたんにちょっと難しくなります。でも、これにも鮮やかな解法があるのです。さて、どうやって解きますか?

日本数学教育学会の算数問題(1)

先日の週末(11月10日、11日)、奈良教育大学で行われた日本数学教育学会の数学教育論文発表会に出席してきました。

その学会会場では、あちこちに算数の問題が貼ってあるのです。簡易的にテープではってあるところをみると、常設的に貼ってあるのではなくて、今回の学会に合わせて設置したものだろうと思われます。まぁ、なんというか、開催側の心意気みたいなものでしょうか?

せっかくなので、心意気に答えるべく、見つけた問題をすべて携帯電話で撮影して、答えを出してみましたので、ブログに載せよう、とまぁこういうわけです。

で、最初の問題はこちら。

以下に答えを書きます。

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