日本数学教育学会の算数問題(4)

11月上旬にあった日本数学教育学会の会場に貼られていた算数の問題を紹介しています。

では、以下に解答と解説を載せます。

まず、上の問題。この問題は出題ミスなのか意図的にこう出題しているのか、ちょっと分からないです。

問題文の「最小の整数」は、「最小の自然数」という意味に読み替えるとしても、この問題文どおりに解釈するなら、正しい答えは、「1」ですよね。1は2~9のどの数で割ってもあまりが1ですから。

でも、きっと本来は「2~9の8つ整数で割ったとき、いつも1余るような、2以上の自然数で最小のものは何?」という意味だったのではないかと思います。そっちの意味で解いてみましょう。

もとめる数から1を引くと、2~9のどの整数でも割り切れることになりますから、要するに2から9までの数の最小公倍数を求めて1を足せばいいわけです。

9の倍数なら自動的に3の倍数になるし、8の倍数なら自動的に4,2の倍数になります。また、8と9の公倍数なら6でも割り切れるはずなので、2,3,4,6はこの際無視してよろしい。

というわけで、5,7,8,9の最小公倍数を求めればいいわけですが、この4つのうち、どの2つの数にも共通因数が一つもありませんから、5,7,8,9の最小公倍数は、5×7×8×9=2520です。

ですので、答えは2521になります。

 

お次は下の問題。2以上のどんな自然数Nも約数は2つ以上あります。というのは、1とNが約数だからです。それ以外にAという約数があれば、N÷Aの答えも約数になります。

ということは、約数が3つだけというばあい、AとN÷Aが一致しないといけない。つまり、Nは平方数です。さらに、N=A2とするとき、1,A,Nだけが約数なのですから、Aが素数でなければならない。

ようするに、この問題は小さい方から6つの素数を二乗して、それらの和を求めなさい、ということになります。ですので、

22+32+52+72+112+132=377

が答えになります。なお、問題を少し変えて、小さい方から7つ目までの和を求めよ、とすると、少し答えがきれいになりますよ。:)

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