日本数学教育学会の算数問題(2)

11月10日、11日に奈良教育大学で行われた日本数学教育学会で、会場のあちこちに貼られていた算数の問題を解いてます。

今回は問題を2つ紹介します。

以下、答えと解説です。

上の問題は、簡単ですね。小学生に出してみたい。:)

1から999までの奇数のなかには、5が混じってるわけで、5の倍数といえば1の位は0か5だけど、奇数ばかりをかけたのだから、答えも奇数のはず。

だから、答えは5ですね。なぞなぞのようで楽しいです。

 

下の問題は、位毎に見ていきましょう。

まず、一の位に「1」が何回登場するかというと、1、11、21、31、・・・、991まで、全部で100回登場します。

次に、十の位に「1」が何回登場するかというと、10,11、・・・19までで10回、その次は、110から119までで10回。このまま続いて、最後は910から919までの10回。全部でやはり10×10=100回登場します。

最後に、百の位に「1」が何回登場するかというと、100から199までの100回。やっぱり100回です。

そして、最後の「1000」で千の位にも1度だけ「1」が現れますから、結局答えは301回です。

この問題も面白いですね。一、十、百の位に登場する回数はどれも100回なのはどうしてでしょうか?

1ケタの数を書く際、例えば7と書かずに007と書いても、「1」の登場回数には影響しないので、1ケタの数や2ケタの数にも0を先頭に加えて、すべて「3ケタの数」として、000から999までを考えてみます。

すると、これは「0」から「9」までの数字を3つ並べたすべての重複順列を考えていることにほかなりません。そうなれば、どの位に「1」が登場する回数を数えても、100回となるのはすぐ分かります。一つの位の数字を「1」に固定したとき、他の位の数字の重複組合せが100通りだからです。

だから、この考えを一般化することは容易にできて、0から999・・99(n桁)までの数字を書く際、「1」はn×10n-1回登場するのです。

こんな風に問題を少し変えてみても面白いかもしれません。

1からNまでの整数を書いたところ、その中に「1」がちょうどN個含まれていた。そのようなNを1つ求めよ。

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