5882353の謎

以前(2007年)に5882353の謎について、書きました。
5882353というのは結構有名な不思議な数で、

5882+23532=5882353

という性質のみならず、

5882353×17=100000001

という特異な性質も持っているわけです。
これは偶然なのか?!

いやこれは偶然ではない、必然だと。
これを一般化してほかの数でも同様の計算ができる、と
どうやら数年前の私が考えついたらしいのですが、
今朝、考えてみても一向に分からない。(笑)

そこで仕方なく、もう一度考えました。かなり時間がかかりましたが、
ようやく再現することができましたので、今度こそ記録を残そうと
思います。

実は、すべての元となっているのは17の持つ次の性質です。

17=4+1
10000≡4 (mod 17)

このとき、10000を17で割った商が588で、2353=588×4+1です。

一般論で話しましょう。自然数pとmとkについて、
p=k+1、
10をpで割った余りがk

の2つが成り立つとします。

このとき、10をpで割った商をAとします。つまり、

10=pA+k

です。また、B=kA+1とおきます。このとき、Bは10より小さいです。
こうすると、

A+B
=A+(kA+1)
=A+kA+kA+kA+1
=A(A+kA+k)+kA+1
=A(pA+k)+B
=A×10+B

また、

(A×10+B)×(k2+1)
=10pA+pB
=10(pA+k)-10k+pkA+p
=102m-k(10-pA)+p
=102m-k2+p
=102m+1

となります。つまり、m=k=4、p=17のとき、

588+2353=588×10000+2353=5882353
かつ、
5882353×(42+1)=108+1

というわけです。たとえば、1÷17は16ケタで循環しますので、
10÷17の余りが4ということは、
1020÷17の余りも4です。このことを利用すると、次のことが分かります。

58823529411764705882+235294117647058823532=
588235294117647058823529411764705882353

588235294117647058823529411764705882353×17=
10000000000000000000000000000000000000001

ところで、p=k+1が素数のときに限定して考えますと、
1/pを循環小数表示したときの循環節の長さが4の倍数の4mであるとき、
10mもしくは103mをpで割った余りがkになることが証明できますので、そういうpを探すと、
p=257や、p=401という例が見つかります。これが、
2007年の記事で書いた例だったというわけです。

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