正8面体の中の蛇(2)

前回、正8面体の辺でできた枠に沿って進む蛇の問題を出しました。
しかし、立体の正8面体のままで考えるのは大変です。
実際、今回は正8面体の辺のつながり具合だけが重要で、その立体的な
形そのものは重要ではありません。そういうときは「グラフ」あるいは「平面グラフ」
として表示すると、考えるときに便利です。
平面グラフというのは、平面上にいくつかの点(頂点という)をとり、その間を交差しないように
いくつかの線(辺という)で結んだ図のことです。
正8面体の平面グラフというのは、正8面体の頂点に対応する6個の頂点を平面上にとり、
正8面体でつながっている点同士を、対応する平面上の頂点でも線で結んだ図のことです。
090518_1.png


例えば、上の図が正8面体の平面グラフです。赤い折れ線の矢印は、蛇の初期状態を示しています。
蛇の動き方は、このグラフを路線図にみたてて、その上を列車のように動くと考えればいいわけです。
ただし、蛇の長さは(定規で測る本当の長さではなく)常に「辺」4つ分として動きます。
また、動いている途中の状態で蛇は、「同じ点を2度通る形」に成ってはいけません。
頭と尻尾(矢印の最初と最後)が同じ頂点になってもいけません。
例えば、上の図の赤い矢印は次のような状態に移動できます。(後退はできません)
090518_2.png
そして最終的には、次の状態になるのがゴールです。
090518_3.png
#実は、先日なんとはなしに数学教室の談話室で手を伸ばした文献にこのような
#平面グラフ上の「列車の移動可能性」に関する論文を見つけたのが、この記事を書き始めた
#きっかけです。(論文の著者は、早稲田大学教育学部の鳥居竜三という方。面識はありません。
#私が手に取った文献そのものはネットでは見つかりませんでした)
#読んだ瞬間、おもわずニンマリしてしまう面白い題材ですね。
今回、提示した問題を考えるに当たっては、紙に大きめに正8面体のグラフをかき、
蛇が乗っている辺の上には4本のマッチ棒を置いて考えました。4本はいずれも
マッチの頭の方が、蛇の頭の方を向いているとします。移動は、一番尻尾側のマッチを
頭の前に動かすことで行います。その際、新たに置いたマッチの頭が指す頂点を
蛇が通っていてはいけない、というわけです。

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