ポリキューブの体積(4)

今回、紹介したポリキューブの体積公式。これをどのように発見したのかを紹介します。
指定された条件(点接触、辺接触無し)のもとでポリキューブに新たなキューブを追加する
「やりかた」(追加するキューブの周りの様子)というのは、実は次の9種類になります。



この9種類のキューブの追加方法について、それぞれ、
内部の頂点、表面の頂点、内部の辺、表面の辺がどのように変化するかを
表にしたものを次に示します。

VO VI EO EI
#1 4 0 8 0
#2 2 0 4 1
#3 0 1 0 3
#4 0 0 0 2
#5 -2 2 -4 5
#6 -4 4 -8 8
#7 0 0 4 0
#8 0 0 4 0
#9 -8 8 -12 12

これら9通りの変化のうち、どの変化が起こっても、値が1増えるような
VO, VI, EO, EIに関する関数が作れれば
体積公式が作れることになります。
そのためには、上の表を9通りの横ベクトルと考え、その9個の行ベクトルのうちの
どのベクトルと内積をとっても、内積の値が1となるようなベクトルを探せばよろしい。
そのベクトルというのが(-1/4、-1/2、1/4、1/2)なのです。
ですから、
-1/4*VO -1/2*VI +1/4 * EO + 1/2 * EI
は、キューブを追加するごとに1ずつ値が増加する関数になり、あとは単位立方体のときの
値が1になりますので、このまま定数項を追加することなく、これが体積公式になります。
しかし、ここでちょっと待ってください。実は、上記の議論には「穴」があります。
このままでは証明になりません。
上では、ポリキューブを考察するにあたって、1つずつキューブを追加することを考えました。
しかし、以下の問題が残ります。

点接触や辺接触のない任意のポリキューブは、単位立方体1つから始めて、
途中経過で点接触や辺接触とならないように、1個ずつキューブを追加することで
得られるのでしょうか?

実は、答えは否です。そのポリキューブを、1つずつキューブを追加することで
作ろうとすると、どのような順番でキューブを追加していっても、
途中で必ず点接触や辺接触となってしまう、そういう性質をもつポリキューブが
存在します。さて、そのポリキューブはどんな形でしょうか?

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