ポリキューブの体積(3)

今回、紹介したポリキューブの体積公式は次のような形に適用できるだろうか?
と、前回書きました。

ひとまず、その結果はさておいて、、
平面でいうと、ピックの公式というのがありますが、次の形にはピックの公式が当てはまるでしょうか?
annulus.png


上の図形は、内部の頂点がなく、境界上の頂点が16個ありますから、
ピックの公式に当てはめると、
16/2+0-1=7
となり、面積と合いません。つまり、ピックの公式はこのような「穴の開いた図形」には
使えないわけです。
それを踏まえて、最初の問題に戻りましょう。今回のポリキューブの体積公式は
「ドーナッツ状」の図形にも当てはまるのでしょうか?

この図形は内部の辺、頂点がありません。表面上の頂点、辺の数を調べると、
EO=64
VO=32
よって体積公式に当てはめてみると、
(64/4+0)-(32/4+0)=16-8=8
なんと、今回はこのような穴あき立体(球体と同相ではないポリキューブ)に対しても
適用できるようになっています。トポロジーに関わる者の直感としては、これは
とても意外なことです。
<つづく>

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