ポリキューブの体積

ポリキューブとは次の図のような単位立方体を繋げた形のことです。
polycube1.png
このようなポリキューブの体積を、ポリキューブの頂点数や辺数から求めることは
できるでしょうか?


ここで1つだけ条件をつけます。
考えるポリキューブには、次の図のような辺だけ、頂点だけで接触する部分はないとします。
polycube2.png
つまり、次のようなポリキューブは考察の対象からはずします。
polycube3.png
次元をさげて、平面だとピックの公式というのが有名です。
平面上の格子点をつないでできる多角形の面積は

VO/2 + VI -1

で与えられるというものです。
ただし、VOは境界上の格子点、 VIは内部の格子点の数です。
ピックの公式は、ポリオミノ(単位正方形をつないだ形)だけではなく、任意の多角形で
なりたつのがすばらしいですが、ピックの公式の3次元版(格子点を頂点とする立体の体積を
頂点の数から求める公式)は存在しないことが知られています。
実は、ちょっと前に(1月頃)に気付いたのですが、次の公式が成り立ちます。

辺接触や点接触のないポリキューブについて、その体積は次で与えられる。
(EO/4 + EI/2) -(VO/4 + VI/2)
ただし、EOは表面にある辺の数、EIは内部にある辺の数、
VOは表面にある頂点の数、VIは内部にある頂点の数。

2次元のピックの公式と見比べると、なにやら規則性が見え隠れします。

広告

コメントを残す

以下に詳細を記入するか、アイコンをクリックしてログインしてください。

WordPress.com ロゴ

WordPress.com アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Google+ フォト

Google+ アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Twitter 画像

Twitter アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

Facebook の写真

Facebook アカウントを使ってコメントしています。 ログアウト /  変更 )

%s と連携中