直方体3分割のつづき(5)

前回、
n1.gif
という式を紹介しましたが、これは次のようにすると簡単に説明ができます。
n1.gif
という公式から
eq1
なので、
eq1
というわけです。


この計算方法を使えば、次の式はいずれもすぐにわかります。
eq3
eq4
eq5
これらは数列の和の基本的な公式1+2+3+… +n=n(n+1)/2の極めて自然な拡張と感じます。
こういった式を使うと、最初の式の次数をさらに上げた次の式も成り立つことが分かります。
eq2
さて、1+2+3+… +n=n(n+1)/2 という公式の導出で、階段状の図形を用いた証明があまりにも
あざやかなので、つい1+22+32+… +n2の求め方も、鮮やかな証明方法で、、、と考えがちだと思うのですが、
(実際、こちら http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/kiso_kouza/2003/kouza_2/kouza_2.htmにある2_6の説明は大変鮮やかです)、
連続的な和、つまり、積分における
eq6
という式の、離散的な和、つまり 数列の和での対応する公式は
eq7
だろう、と思うのです。差分方程式とかやる人には常識なのかな。

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