直方体の3分割の続き(6)脱線気味

先日、パズる会2008という催しに出席したのですが、そこで出題された問題が直ぐに解けなくて、
悔しい思いをしました。というのも、後から気づくと、ちょうどこのブログで最近考えていた内容と
深く関係していたからです。今回は、その会で出題された問題から数学のエッセンスの部分を
抜き出した次のような問題の話をしましょう。
以下に示す有限の数列を考えます。
1×100×99×98、
2×99×98×97、
3×98×97×96、
4×97×96×95、


97×4×3×2、
98×3×2×1

実際、最初と最後の部分を計算してみると、
970200=1×100×99×98、
1882188=2×99×98×97、
2737728=3×98×97×96、
3538560=4×97×96×95、
とだんだん増加していきます。一方で、
2328=97×4×3×2、
588=98×3×2×1
と最後は小さな値で終わりますから、どこかで最大値がありますね。
問題は「この98個の式のなかで一番大きい値はどれでしょう?」というものです。
電卓なし、数式処理ソフトなしで10分以内に答えが出せますか?
答えを以下に書きますが、その前に是非、紙と鉛筆で検討なさってみてください。





















少し間をあけます。


















さて、答えにいたる考えを述べます。
今回書いた数列の一般式を書くと、以下のようになります。
f(n)=n(101-n)(100-n)(99-n) (ただし、n=1から98)
こうなると、最大値を求める問題なので、ついつい微分をしたくなります。
しかし、この式の微分は面倒です。実際、対数微分するとしても、
beq1
という計算から
beq2
となるけども、これではf(n)の導関数の正負が変化する場所の目星がつかないのです。
微分は単項式では簡単だけども、このような因数分解された形の式では最大値問題での適用に必ずしも向いていないわけです。
さて、一方、ここで思い出して欲しいのは、前回書いたように、(101-n)(100-n)(99-n)と
いうように連続する数の積という式は、どうも離散的な扱いと相性がよさそうだ、ということです。
そこで、「連続的な関数における微分」に相当する離散的な概念、つまり階差数列をとってみましょう。
すると、
f(n+1)-f(n)=(n+1)(100-n)(99-n)(98-n)-n(101-n)(100-n)(99-n)
=(100-n)(99-n){(n+1)(98-n)-n(101-n)}
=(101-n)(100-n)(-4n+98)
というようにこれなら容易に正負の変わるところが判別つきます。
(101-n)(100-n)の部分は今回の有限列の間では常に正なので、
(-4n+98)という部分で正負が決定されます。つまり、
n=24までは正ですが、n=25以降ではこの階差数列が負になるわけです。
つまり、この数列はf(25)で最大値をとる、というわけです。
(つづく)

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