直方体の3分割の続き(4)

「直方体の3分割」からのつづきです。
1/13の記事から順に読むことをお勧めします。


先日の「直方体の3分割(2)、(3)」で出した分割問題の1ピースは
どちらも同じ形でして、次のような形です。
step4p1.gif
組み方は以下の通りです。2ピース組み合わせたところが(2)の答えになっています。
3ピース組み合わせると(3)で書いた階段状の形になります。
step_anm.gif
* * *
先日、とある計算をしていた際に、次のようなことに気づきました。
まず、有名な式ですが、次のような公式があります。
n1.gif
Σ記号を使わずに書けば、ようするに次の式と同じです。
n1.gif
これの両辺にさらにΣを施します。これを高校で習う計算により、求めると以下のようになりました。
n1.gif
これも、Σ記号を使わずに書き直すと、次のような意味です。
n1.gif
これは最初の公式の、極めて自然な拡張式のように感じられます。
ところで、上で書いた最初の式は、よく次のような図式により説明されます。
n1.gif
もしも、今回得られた式が最初の式の「自然な拡張」なのであれば、この式
n1.gif
を説明するような直方体の合同分割があるんじゃないだろうか?と考えました。
そこで、1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n) という体積になるような図形として、
当初は次のような形を想定し、これが6つで直方体が作れるだろうか?と想像してみました。
n1.gif
でも、どうにもこれではうまくいかない。どうしたものか?
で、ひらめいたのが今回の次の形。
step4p1.gif
この形、次のように薄切りに分割すると、1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)の体積になっていることが分かります。
step4p1.gif
また、これは直方体を3分割した形のさらに2分割ですから、これを6つ集めると
4×5×6の直方体ができるというわけ。当然、n×(n+1)×(n+2)の直方体でも
どうようの6分割ができます。つまり、この分割は
n1.gif
を示しているわけです。
(つづく)

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