123456で64の倍数

灘中学校の今年の入試問題から(文面は変更しています):

1,2,3,4,5,6の6つの数字を1回ずつ使ってつくる6桁の数のうち、
もっとも小さい64の倍数は123456です。では、もっとも大きい64の倍数はいくつですか?

この問題の解法が分からない。


いや、答えは分かるし、答えにいたる解法もないわけではない。
が、なんというか、自分としては あまりきれいな解法とは思わない。
もっと、すっきりしたスマートな解法があってもいいような気がするのだけど、
それが おもいつかないのだ。
#ちなみに、上記の問題をみつけた灘中学校の入試問題を載せているサイトにある
#解法は間違っていた。答えはあっているけど、その解法では 最大の64の倍数であることが
#保障されない。
自分の考えた解法を以下に書くが、自分で考えてみたい人のために色を消しておく。
見たい人は反転してください。


題意に示す6桁の数のうち、6で始まる数で64の倍数があるなら、その中の最大のものが
求める数になる。そこで、最上桁を6と仮定して、下3桁を考えよう。
下1桁は2の倍数であるから、2か4。
それを踏まえて、下2桁は4の倍数であるから、12、32、52、24のいずれか。
それを踏まえて、下3桁は8の倍数であるから、312、512、432、152、352のいずれか。
さて、上2桁が65とすると、下3桁では5が使えないから、上のリストから、8で割れるのは
654312、651432 しかないが、これらはどちらも64で割り切れない。
次に、上2桁が64とすると、下3桁では4が使えないから、上のリストから、8で割れる数のうち、
一番おおきいのは645312だが、これは64で割り切れる。
よって、645312が題意を満たす最大の64の倍数になる。

問題文中に提示されている「もっとも小さい64の倍数は123456」という事実をつかった
うまい解法があったりしないか、と思うのだが。。うまい方法を思いついたら教えてください。

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123456で64の倍数」への3件のフィードバック

  1. 灘中学入試問題ということで「コンピューターや計算機を使わず、制限時間内に解く」という条件がリアルになる。「上から順番に調べていけばいいじゃん」ではNGっぽいという。おもしろい問題ですね。

    いいね

  2. あまりいい方法とは思わないのですが、、、
    8で割れる数は、1000以上は割り切れるので、下3桁が8の倍数ならよいので、、、
    下3桁の数を考える。
    と同時に、下3桁の残りの上3桁の数がこの中にあればすくなくとも上3桁は64で割れるはず。
    136,152,216,256,264・・・なし
    312,352,・・・456,416
    416,432,456,・・・なし
    512,536・・・なし
    624,632,・・・なし
    けっきょく、、、
    456312,654312,645312,465312,564312,546312
    312456,321456,231456,213456,132456,123456
    416352,461352,641352,614352,164352,146352
    352416,325416,532416,523416,253416,235416
    のなかにあるはず!
    645312/64=10083 で、ビンゴ!!^^v
    求める最大の数は 645312
    たまたまのような気もするな。。。^^; Orz〜

    いいね

  3. 順列って、計算で求めたりするけど、これは無理っぽいですよねぇ~
    しらみつぶしで答えを得るのはエレガントではないのかな?とも思いましたが、
    樹形図使ったりして求めたりする場合も普通にあるから、こういう特別な条件の時はしょうがないですよねぇ。
    こんな求め方はいかがですか?
    証明っぽく書いてみます。
    問題より、
    123456=64の倍数・・・①
    Xは1,2,3,4,5,6を並べ替えた値・・・②
    求める値をXとすると、
    X=64の倍数・・・③
    ②より、
    Xは、≦654321を満たす最大値・・・④
    各桁を並べ替えた値と、元の値の差は9の倍数になるので、
    X-123456=9の倍数・・・⑤
    ①と③と⑤より、
    X-123456=64の倍数かつ9の倍数
    64(=2^8)と9(=3^2)の最小公倍数は576
    よって、X-123456=576の倍数
    移項して、X=123456+576の倍数・・・⑥
    ④と⑥より、
    (654321-123456)÷576≒921.6…
    921×576+123456=653952
    よって、X≦653952・・・⑦
    ②と⑥と⑦より、
    653952-576=653376
    653376-576=652800
    652800-576=652224
    652224-576=651648
    651648-576=651072
    651072-576=650496
    650496-576=649920
    649920-576=649344
    649344-576=648768
    648768-576=648192
    648192-576=647616
    647616-576=647040
    647040-576=646464
    646464-576=645888
    645888-576=645312
    答え645312
    いかがでしょうか?最後にしらみつぶしを持ってきたので、計算回数とか時間とか短くなってませんかねぇ。こいつのミソはやはり⑤です。
    また寄らせて頂きま~すっ(^o^)/~~~

    いいね

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