真ん中の三角形

今日、院生さんから次の問題を質問されました。なかなか面白い問題でした。

次の図で、D,E,Fはそれぞれ三角形ABCの辺の3等分点の1つです。
このとき、真ん中の色のついた三角形は、三角形ABCの面積の何倍か?

0706fig1

うーん、メネラウスの定理を使ってもいいなら、簡単なんだけどー。
中学生相手に説明するとしたら、どうする?
ちょっと考えて、何とか数分で解決することができました。


まず、求める面積は、次の青い色をつけた3つの三角形の面積の和と同じです。

0706fig2

というのは、次の理由からです。
三角形ABD、三角形BCE、三角形CAFはどれも三角形ABC全体の面積の3分の1です。
だから 3つの面積を合わせるとちょうど、三角形ABCの面積と等しくなりますが、
この3つの三角形は三角形ABCを覆っていません。このときの覆っていない部分に
相当するのが求める黄色い三角形です。
面積が一致するのに覆っていないのは、なぜかというと、図をみれば分かるように、
上図の3つの青い三角形の部分で重なっているからです。
ということは、重なっている部分の青い三角形の面積の和が、
求める黄色い三角形に等しいことになります。
だから、いま三角形PBDの面積を求めればよろしい。
(三角形PBDの面積が分かれば、図の対称性から全く同じ議論で、
残りの2つの青い三角形の面積も同じになるはずだから。)
そのためには AP:PDの長さの比が分かればよろしい。
肝心要なのはこの後。AP:PDの比を求めるのに線分CFは不要だから図から消そう。
そして、補助線DEをひこう。すると、次のようになる。
0706fig3
このときの緑と黄色の三角形の面積比が AP:PDに等しい。
緑の三角形は 全体の3分の2。
黄色の三角形は 全体の3分の1の、さらに3分の1。
だから、緑の三角形:黄の三角形=6:1、と分かる。
ということは三角形PBDの面積は、全体の3分の1(三角形ABD)のさらに7分の1。
だから、21分の1。
ということは もともとの問題にあった、求める面積は その3倍で、全体の7分の1、と分かる。
*   *   *
本当は、面積を用いるというのは、初等幾何学上は裏技なんだと思う。
というのも、「面積を定義すること」がとても難しいからだ。
単純な公理系を出発点とするなら、面積を用いるというのは、思いっきり遠回りした
大道具を用いた証明をしていることになる。
でも、中学生はそんなこと気にしないだろう。面積というのは、直感的には理解しやすいし、
小学校のときから習っているので、違和感なく用いることができるだろう。
そういうわけで、面積を用いると 面倒な証明が一挙に簡単になることが結構ある。
代表例が、チェバの定理だろう。
で、今回の問題を考えていて、ふと気づいた。これって、メネラウスの定理の証明を
やっているんじゃないか?で、整理してみると、ものすごくすっきりとメネラウスの定理を
(面積をつかって)証明できることに気づいた。

メネラウスの定理:
三角形ABCの2辺と1辺の延長に交わる直線がある。
その交点を図のようにD、E、Fとおくと、
(AF/FB)・(BD/DC)・(CE/EA)=1
が成り立つ。

0706fig4

メネラウスの定理は本当は もうひとつ 「直線が3辺の延長に交わる」場合というのがあるのだけど、
ここでは上のような図の配置の場合だけを考える。
さて、面積をつかった証明を述べよう。
0706fig5
図の青い三角形の面積と、紫の三角形の面積の比を考えよう。
青い三角形と三角形EDCの面積比は AE:ECだから、
三角形EDCは青い三角形の(CE/EA)倍。
一方、紫の三角形は 三角形EDCの(BD/DC)倍だから、
紫の三角形は 青い三角形の(BD/DC)・(CE/EA)倍だ。
一方、青と紫は1辺を共有しているので、これを底辺と見ると、
青い三角形と紫の三角形の比は AF:FBだから、
紫の三角形は 青い三角形の (FB/AF)倍だ。
同じ比を2通りに書いたから、
(FB/AF)=(BD/DC)・(CE/EA)
証明終わり。
面倒なメネラウスの定理が とても簡単に証明できるので、
この証明のトリックをしっていれば、本来メネラウスの定理がつかえれば
楽なのに、、、という類の問題が 簡単に証明できてしまう。
たとえば、三角形の重心が中線を1:2に内分する、とかも
面積比をつかえば、あっというま。応用性が高い.
この証明の方法は覚えておいて損はないかも.

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