時計の針

昔、数学セミナーの「エレガントな解法を求む」で時計の針の問題がでました。
そのときの解説で、目から鱗なアイデアがあって、とても印象に残っています。
このアイデアを用いると、多くの時計の針の問題を(原理的に)簡明に解くことが出来ます。
0605_clock.jpg


そのアイデアとは、角度30度を1として、角度を12進数で表すというものです。
つまり、1周360度は 12になります。また、このとき、1未満の角度も12進数の小数で表します。
長い針の指す方向を12時方向から時計回りに測った角度は、
短い針の指す方向を直前の数字の位置から時計回りに測った角度の12倍です。
ということは、
長い針の指す方向を12時方向から時計回りに測った角度L、
短い針の指す方向を12時方向から時計回りに測った角度Sとおくと、
Lは Sの小数部分を12倍したものになっています。
つまり、12進数で
S=a0.a123
とすると、Lはひとつずつ左にずらした数、
L=a1.a234
というわけです。
たとえば、5時から6時の間で、長針と短針が重なる時刻はいつか?
上の性質から S=5.5555…となる時刻だとすぐにわかります。
あとはこれを単位変換すればよろしい。

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時計の針」への2件のフィードバック

  1. 濱中先生
    先日はお返事を、ありがとう御座いました。
    時間をさいていただいてしまって申し訳ありません。
    次の星型の積み木♪ ブラボ――――のひとことにつきます。
    奥に潜む数学的重量バランスは。。。。。わかりませんが。。。。
    色といい、立ち姿といいブラボ―――――です。
    3の倍数の数字の謎、、答えを読んでからもしばらく納得できず,(恥)
    理屈はわかるけど,足すのは何故!!!!!って、(私の思考の中がきっと先生には何故?でしょうね。。。トホホ)
    ずっ~~と、悶々としておりましたが,昨日の晩布団の中で、はたっ!と解明されました。。。ありゃりゃん。。。。なになやんどったと、やろうか。。。。先生のあの、説明読んで,解らんかった自分がも1度はづかしかったけど、解った嬉しさが数倍勝っております♪
    おもえば、小さい頃から一つ疑問を感じたら、もうそこで思考がストップし,呆然としているまにあれよあれよと話題がすすみ異国のことばのようになってしまった数学の時間でした。。。。
    いまから、時計の問題に・・・・・立ち向かってみようと思います。。。。。

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  2. 星型のおもちゃの積み上げには 数学的な理論はまーったくありません。
    たんなる子どもの(大人の?)遊びです。
    ただ、理論も何もありませんが、絶妙なバランスで積むのって面白いですよね。
    それから、3の倍数の件、最終的には納得していただけたようで何よりです。
    今回の時計の針に関する解説は いくつかの知識を仮定しているので
    ハードルが高めかもしれません。

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