数を分割してから掛ける(その2)

昨日書いた問題の解説です。


与えられた数をaとします。
分割する個数を指定して、たとえばaをn個に分割するときには、
分けられた値が等しくなるように、n等分するときが、
もっとも積が大きくなります。
これは a=a1+a2+・・・+anと分割するとすれば、相加相乗平均の不等式により

1×a2×・・・×an
≦{(a1+a2+・・・+an)/n}n
=(a/n)n

からすぐに分かります。
つぎに問題となるのは 何等分すればいいのか、ですが、
n等分したときの値(a/n)nを f(n)とおきましょう。
ここで nは自然数ですが、式として

f(x)=(a/x)

は xに実数を代入しても意味をもちます。
そこで このf(x)を微分して増減表をかいてみますと、
a/x=eとなるところで 極大値をひとつだけもちます。
つまり、aを等分したひとつ分が自然対数の底eに近いところで もっとも
おおきくなるというわけです。
#正確には a/n≦eとなる最小のnと、a/n>eとなる最大のn
#のいずれかでaをn等分したときがもっとも積が大きくなるということです。
足し算と掛け算のせめぎあいのようなこの問題で eがでてくるのが、
不思議なような、納得してしまうような、、eってそういう数字です。
e=2.71・・・ ですから はじめの問題で 2個ずつよりも3個ずつの
ほうが積が大きくなったのもなんだか納得です。

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