数を分割してから掛ける

「1をたくさん使って 四則演算により 大きい数を作る」という話を
先日書きましたが、実際のところ 足し算と掛け算しか使いませんでした。
実際には 答えが最大となるのは、1を2個や3個ずつにわけて、それぞれのグループで和をとり、
その和をすべて掛け算するというタイプの式でした。
ここで重要となるのがいくつずつに分けるか、ということです。
細かくわけると たくさんの数の積になるので有利なのですが、
あまり細かく分けてしまうと かける数が小さくなってそれはまた不利という
わけです。
これをみて、次の問題を考えたくなりました。

与えられた正の数aに対して、aをいくつかの正の数に分割してから積をとる。
つまり、a1+a2+・・・ak=a
となるa1、a2、・・・akをとり、
その積a1×a2×・・・×akを考えます。
このとき、その積が最大となるのはどのように分割したときでしょうか?


まず、前回の答えを述べましょう。結局、前回の答えは
基本的には 1を3つずつ集めて和をとり、その積をとるのが
もっとも大きくなる傾向にあるということでした。
#1の数が3の倍数なら、3つずつわけて和をとり 積をとるのが最大。
#つまり、式としては(1+1+1)×(1+1+1)×・・・・ となります。
#1の数が、(3の倍数+2)ならば、
#あまった2個は ・・・×(1+1) とします。
#1の数が、(3の倍数+1)ならば、
#ひとつまえのグループを分解して ・・・×(1+1)×(1+1)とします。
和をとって各グループの和を大きくするよりも、累乗の増大のすさまじさからいって
2個ずつ和をとってから2の累乗にするのが大きいのではないかな、、と
問題を発案した当初は思っていたのですが、存外 3つずつ和をとったほうが
大きいというのが ちょっと面白いです。 さて、この2つより3つのほうが有利という
のをみて、ピンときませんか?

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