Quartoの引き分け

3月19日に書いたQuartoの引き分けについてFukushimaさんから
コメントを頂きましたが、自分でも考えてみました。
引き分けになる盤面となるには、どの列にも
ひとつの属性について同じ性質のものが4つ並んではいけないのですが、
さらに条件を強めて どの列にも各属性について2つの性質の駒が2個ずつ
並ぶようにすることはできるでしょうか?


ちょっと考えてみたところ、すぐに解が見つかりました。
4つのそれぞれの属性について、2値の性質を0,1で表します。

属性1
属性1
属性3
属性4

上記のように各属性の配置をさだめると、全16種類の駒が1つずつ現れます。
また、表をみれば判るように縦横斜めの各列に0と1が2個ずつ出現します。
属性1と属性3、および、属性2と属性4では、盤を90度回転させた関係に
なっているのが面白いです。
また 属性1と2は 第2行と第3行を、 属性3と4は 第2列と第3列を入れ替えた関係に
なっています。
すべての列で0と1が2個ずつですから、属性1から4までを
それぞれ2進数の千、百、十、一の位と考えて、ひとつの駒を
2進数4桁で表し、それを10進数に変換すると 次のようになります。

14 13
10
11
15 12

当然、これは魔方陣になります。各列の和は 二進数の(1111)の2倍で30です。

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